「Chromecast （with Google TV）」のセットアップ中で、ルーター（Wi-Fi）と接続しようとして「Wi-Fiに接続中」となったまま先に進まなくなってしまうことがあります。
この一因は、「Google Chromecast」が対応しているセキュリティプロトコルにあります。
「Google Chromecast」が対応しているセキュリティプロトコルは
・WEP
・WPA
・WPA2
の３つです。
現在、最強のセキュリティプロトコルには「WPA3」（2018年6月）になります。
※それぞれの違いについては、こちらを参照してください。
https://www.kaspersky.co.jp/resource-center/definitions/wep-vs-wpa
ルーターによっては、まだ「WPA3」に対応していないものもありますが、「WPA3」に対応していてもその初期設定の多くは「WPA2」なので、「ルーター」を工場出荷状態で利用している場合は、何ら問題なく「Google Chromecast」がルーター（Wi-Fi）に接続できると思います。
もし、Wi-Fiに接続できない場合は、ルーター側で設定するセキュリティプロトコルを確認にしてみてください。
ルーターの設定方法については、その取扱説明書を見てください。
・SONY：保護モード
・NEC：暗号化モード
等々
